本文介绍如何用 Python 实现向量的笛卡尔积（或者叫外积）。一个方法是使用内置函数，另一个方法使用递归生成器实现。

笛卡尔积的含义

有 $N$ 个向量，按固定顺序从每个向量中取出一个元素排列成新的向量，所有新的向量的集合，就是这 $N$ 个向量的笛卡尔积。比如有三个向量 $A,B,C$：

则 $A,B,C$ 三个向量的笛卡尔积 $A \times B \times C$ 为：

从排列知识可知，笛卡尔积的元素个数是原来 $N$ 个向量个数之积 $(3 \times 2 \times 2= 12)$

下面使用 Python 的两种方法求向量的笛卡尔积。

内置函数 product( )

Python内置的 itertools.product()函数 可以得到N个向量的笛卡尔积，例如：

from itertools import product
list(product([1,2,3],[4],[5,6,7]))
# [(1, 4, 5), (1, 4, 6), (1, 4, 7), (2, 4, 5), (2, 4, 6),\ 
# (2, 4, 7), (3, 4, 5), (3, 4, 6), (3, 4, 7)]

product()函数 返回一个生成器，它的等效代码为：

def product(*args, **kwds):
    # product('ABCD', 'xy') --> Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy
    # product(range(2), repeat=3) --> 000 001 010 011 100 101 110 111
    pools = map(tuple, args) * kwds.get('repeat', 1)
    result = [[]]
    for pool in pools:
        result = [x+[y] for x in result for y in pool]
    for prod in result:
        yield tuple(prod)

生成器思路

递归的思路就像剥洋葱一样，尽管我们不知道一颗洋葱有几层，但是只要坚持剥下去，就一定能剥到最里层。

我们把剥洋葱的原则，描述为

def 剥(任意一颗洋葱)

函数的定义应该是下面这样的：

def 剥(洋葱):
    如果 洋葱剥没了:
        什么也给不了
    否则:
        剥去最外层
        剥(剩下的洋葱)

对于无论多厚的一颗洋葱，只要执行一次 剥( ) 函数，就能遍历每一层。

回到上面的笛卡尔积问题来，假如我们把函数命名为 笛卡尔积() ，它看起来应该是这样的：

def 笛卡尔积(序列):
    如果 序列 为 空:
        给出（yield）空序列
    否则:
        拆开第一个子序列，对于其中每个元素
             把这个元素加在 笛卡尔积(剩下的序列) 的每一个结果 前面
             给出（yield） 这个组合

把上面的中文翻译成python语言，就得到想要的递归生成器

用python语言实现递归生成器

实现笛卡尔积的递归生成器，具体代码为：

def combi(seq):
    if not seq:
        yield []
    else:
        for element in seq[0]:
            for rest in combi(seq[1:]):
                yield [element] + rest

用下面的语句测试，得到的结果和 product() 函数一样：

n=[[1,2,3],[4],[5,6,7]]
print list(combi(n))

应用举例

用combi( )函数处理下面这个向量集合：

[[1,2,3],[4],[5,6,7]]

我们看看如何运行的：

拆出第一个序列，得到1,2,3
对于1                      （暂存结果[1]）
拆出第2个序列，得到4
    对于4                      （暂存结果[1, 4]）
    拆出第3个序列，得到5,6,7
        对于5                       （暂存结果[1, 4, 5]）
        拆出第4个序列（空），得到（空）       
        把5加到（空）前面，返回结果    （返回暂存结果[1, 4, 5]）
        对于6                       （暂存结果[1, 4, 6]）
        拆出第4个序列（空），得到（空）        
        把6加到（空）前面，返回结果    （返回暂存结果[1, 4, 6]）
        对于7                       （暂存结果[1, 4, 7]）
        拆出第4个序列（空），得到（空）       
        把7加到（空）前面，返回结果    （返回暂存结果[1, 4, 7]）

上面的过程结束后，就得到了

[1, 4, 5], [1, 4, 6], [1, 4, 7]

以上这是第一次递归的分析结果，后面的过程与之类似。

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