最近一段时间在推，会用到一些关于李代数求导的知识。参考高博《视觉slam十四讲》一书，在此总结一些常用的关于李群与李代数相关的知识点。

前言

在SLAM中位姿是未知的，而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的,，使得误差最小化。旋转矩阵自身是带有约束的（正交且行列式为 1）。它们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难。通过李群——李代数间的转换关系，我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构，李群是指具有连续（光滑）性质的群，李群在相机姿态估计时具有重要意义，接下来主要讨论特殊正交群与特殊欧式群。

特殊正交群与特殊欧式群

在李群中，我们使用矩阵来表达一个旋转和平移，这存在冗余的自由度。三维空间的旋转只有三自由度，旋转+平移有六自由度。因此，我们希望寻找一个没有冗余自由度（但是相应的存在奇异性）的表示，也就是李代数和。且无论是旋转还是变换矩阵，它们都是对加法不封闭的，但是对乘法是封闭的。

李代数的引出

关于李代数理论的介绍，包含李代数/切空间/李群的介绍，非常形象。

对于任意旋转矩阵，它必定满足：

考虑它随时间发生变化，即从变为，它仍然满足如下等式：

对两侧同时对时间求导数得：

可见是一个反对称矩阵，将其记作，于是：

所以它主对角线元素必为0，而非对角线元素则只有三个自由度。我们一定可以找到一个这样的向量使得：

其中符号表示由向量转换为矩阵，反之我们也可以用符号定义由矩阵转换为向量的方式：

现在，由于：

是一个反对称矩阵，所以我们一定可以找到一个三维向量与之对应。于是我们有：

左右各右乘，由于其正交性，有：

可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个矩阵即可。由于反映了导数性质，故称它在的正切空间(tangent space)上。同时在附近，设保持为常数：

我们有：

又因为初始值，对上式进行求解可得：

上式描述在局部的导数关系。

李代数

上文提及的是一种李代数，对应的李代数是定义在上的向量，我们记作，它对应一个反对称矩阵：

由于它与反对称矩阵关系很紧密，在不引起歧义的情况下，就说元素是3维向量或者3维反对称矩阵，不加区别：

李代数

对应的李代数为，定义在空间，其具体形式如下：

是一个这样的六维向量，前三维表示平移，记作；后三维表示旋转，记作（有时候这两个参数会反过来，也可以）。

指数映射

以及的指数映射分别对应于以及，它们之间的转换关系可以由下图表示：

李代数求导

对旋转矩阵李代数求导

对进行一次扰动，假设左扰动对应的李代数为，对求导，得到：

变换矩阵李代数求导

假设空间点经过一次变换（对应的李代数为）后变为 。当给左乘一个扰动，设扰动项的李代数为，有：

上式中运算符号的含义：将一个齐次坐标的空间点变换成一个的矩阵。

补充

左扰

右扰