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在Session里缓存这个DataTable，那么可以这样做:
首先为了方便访问，可以把DataTable做成一个属性，像这样：

public DataTable objTable
{
    get
    {
        return Session["myTable"] != null ? (DataTable)Session["myTable"] : new DataTable();
    }
    set
    {
        Session["myTable"] = value;
    }
}

之后在每次点击按钮的时候，先从Session里取出来缓存的DataTable对象，再追加，最后绑定。

private void Button1_Click(object sender, System.EventArgs e)
{   
    DataTable mydt = objTable;
   
    if(mydt.Rows.Count == 0)
    {
        mydt.Columns.Add(new DataColumn("姓名"));
        mydt.Columns.Add(new DataColumn("性别"));
    }
    DataRow mydr;
    mydr = mydt.NewRow();
    mydr[0] = TextBox1.Text.ToString();
    mydr[1] = TextBox2.Text.ToString();
    mydt.Rows.Add(mydr);

    objTable = mydt;
    dg.DataSource = mydt;
    dg.DataBind();               
}