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傅立叶级数实在是我最痛恨的一种学问之一，来得突兀之至，一点兆头都没有，课本上就突然告诉我说世界上的函数啊，都可以表示成这样一种级数。TMD， 为什么？每每想到这里，就不由得怒从心头起，恶向胆边生，总想把数学分析课本付之一炬。在烧与忍住不烧之间徘徊挣扎了苦久，终于数学分析这门课也已经结束 了，后来也就不再去翻那些比星爷还无厘头的书了。可笑——世界上最精致最讲究逻辑的一门学问，在中国变成了最没有道理，最蛮横，最无厘头的学问，然后还看 到好多大学的老师抱怨学生不认真学习。我真想请问，这种背结论的课我学好了干嘛？如果只是徒然背结论，那一本数学手册岂不比花偌大时光去背这些无厘头的东 西好多了？老实说，傅立叶级数我当年也曾好好地看过几回，可是实在是搞不明白他是怎么来的。翻遍了书店和图书馆也不见有讲的。终于还是在外国人的教材上看 到了原来傅立叶级数是大大的有道理的。

这本书名字叫做<patial differential equations an introduction>，就是偏微分方程导论。作者是Walter A.Strauss。

如果你也真正疑惑于傅立叶级数这样一种玩竟儿，极力推荐看一下。我就把里面比较重要的一些点选译在下面，希望能说得明白，当然下面的文字中只有最关键的文字才是书上的，其他的更多的是我自己的理解，还请各位看官多多指正。

还是从牛顿说起吧，微积分是牛顿还 是莱布尼兹发明的，历史上有很大的争论，但是，我个人认为，即便是莱布尼兹所发明，牛顿只是拿来用一下，老牛还是很牛的。因为他写了原理这本书，把数学分 析的方法引入了物理问题的研究之中，这确实可以说是一项伟大的工作了。我没读过原理这本书，据说牛顿第二定律是写成了F等于质量乘以路程的二阶导数(据说牛顿那时候是把导数叫做流数的)，而不是我上高中的时候学的那个加速度a。 也就是牛顿是利用二阶微分方程表示牛顿第二定律的，在解方程的过程中，自然的就可以计算速度，位移等等的物理量，省去了很多描述上的麻烦，为研究更加复杂 的情况提供了强有力的数学工具。在牛顿所建立起来的这种框架之下，后人们不断发现新的规律，而新的规律也总是可以表示为各种各样的微分方程，于是经典物理 便一点点扩充起来了。从这个角度来说牛顿是近代物理之父那是一点也不错的。

正是在建立经典物理学的过程之中， 傅立叶在研究热的传播时，伯努利（伯努利家是数学世家，他们爷们我一个也搞不清，统称为伯努利，总之是错不了的）在研究波的传播和扩散时，都得到了以下的 偏微分方程（这个推导在物理课本上有，国内的诸多教材都有推导，也不是很难，不是这篇文章关注的焦点，就略提一下，不详谈了）：

(1)

当然，这个方程的第二个式子和第三个式子是偏微分方程的初值和边值条件，现在这个被称做是狄利克莱条件。在不同的场合下，初边值一般是不同的，比如其他还有纽曼条件，罗宾条件等，但是方程的解法却是大同小异。

傅立叶又是怎么解这个方程的呢。OK，接下来就来看看傅立叶是怎样给这个方程的解加上自己的名字的。

在上面这个方程的推导过程中，傅立叶发现，这个解u其实可以表示为X(x)·T(t)，如果哪位仁兄想问为什么，只好请您再屈驾看一下物理课本了。u=X(x)T(t)代入上述方程就可以得到

（其中λ是一个常数。因为 )

行了，现在得到两个二阶常微分方程，自己都会解了。经过一番尝试，我们会发现，只有当λ>0时，这两个方程的解才会有一些意义。我们就来看一看吧，现在已经假设λ=β*β>0并且β>0

那么这个常微分方程组的解就具有以下形式