线性变换及其矩阵表示和相似变换

给定一组有限维向量空间V的基{e1, e2, ... en}，一个线性变换T: V->V'的关于这组基的“矩阵分量”[T(i,j)]，定义为:
  T ej = sigma(i = 1 to n, T(i,j) ei) = T(1,j) e1 + T(2,j) e2 + ... T(n,j) en
也就是说，这个线性变换把基向量ej变换成一个新向量，它是基向量的如是的一个线性组合，而系数是这个（nxn）矩阵[T]的列向量，第j列对应ej。故而在一组基向量下，就有这么个一个线性变换到矩阵（系数矩阵或坐标变换矩阵）的一一对应：
  T (e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) [T]
再次注意T代表线性变换，[T]是T在基向量组(e1,e2,...,en)下的对应矩阵。如果换一组基向量，同样的线性组合就有不同的对应矩阵。

现在考虑基向量组的线性变换A（将一组基向量变换到另一组基向量）及其逆变换A'，套用上面公式
  (e1,e2,...,en) = A(e1',e2',...,en') = (e1',e2',...,en') [A]
  (e1',e2',...,en') = A'(e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) [A']
显然有[A'][A] = [I]
一个向量v = (e1,e2,...,en) [v]，其中列向量[v]显然就是坐标。
那么它由另一组基表示v = (e1',e2',...,en') [v']，则有 [A][v] = [v']。这就是基变换下的对应的坐标变换。
由线性变换的性质可得：
T(e1,e2,...,en) [v] = Te1 v1 + Te2 v2 + ... Ten vn = T ((e1,e2,...,en)[v])

于是：(e1',e2',...,en')[T'][x'] = T(e1',e2',...,en') [x'] = TA'(e1,e2,...,en) [A][x] = (e1,e2,...,en)[A'][T'][A][x] = (e1,e2,...,en)[T][x]
注意，TA'(e1,e2,...,en) [A]并不等于ATA'(e1,e2,...,en)（由此会得出荒唐结论），因为[A]不是基向量组TA'(e1,e2,...,en)下A的对应的变换矩阵。
上述说明，同一个线性变换T，在基向量组[e']下的矩阵是[T']，则在基向量组[e]下的矩阵为[T] = [A'][T'][A]。

特征值与特征向量

如果存在非零的向量v，有S v = l v，则l是S的一个特征值，v是对应的特征向量。

对于任意l，容易证明Vl = {u | S u = l u} 是一个线性空间。它包含所有l对应的特征的向量。如果l不是S的特征值，则显然Vl = {0}。

（未完待续）