向量空间： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4

    给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：

• 向量加法 + : V × V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；
• 标量乘法 · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作 a ·u。

     V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。

   概念化及额外结构

   研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

• 一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。
• 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。
• 一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。
• 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。

赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 Rⁿ 的推广

范数（norm），是具有“长度”概念的函数：

               ----  欧几里德范数

 如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。

 拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间

欧几里得空间    ----   希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间

                          ---> n维欧几里得空间   推广

                          ---> 欧几里得距离

                          ---> 欧氏空间是一个度量空间，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的拓扑空间

                n维向量空间:   以{\displaystyle \mathbb {R} }表示实数域。对任意一个正整数n，实数的n元组的全体构成了{\displaystyle \mathbb {R} }上的一个n维向量空间，用{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}来表示。有时称之为实数坐标空间。 

                        --->   n维实数坐标空间 是实n维向量空间的原型。

                欧几里得结构:

                    称为{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上的欧几里得结构

                欧氏空间:    仅指实数向量空间，而加入了如上定义的欧几里得结构后才称为欧氏空间

                                  ---  欧氏空间是一个度量空间，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的拓扑空间

                "欧氏空间也称为欧几里得空间，是带有“内积”的实数域上的一类向量空间"  ---- http://blog.csdn.net/y954877035/article/details/52150151

超平面（Hyperplane）是 {\displaystyle n} 维欧氏空间中余维度等于{\displaystyle 1}的线性子空间。这是平面中的直线、空间中的平面之推广

******

参考：

《普林斯顿数学指南》 1、2、3卷相关章节

《理解数学空间，从距离到希尔伯特空间》http://blog.csdn.net/shijing_0214/article/details/51052208